En tout cas, merci à Adrien pour ses réactions. Voici sa question, suivie de quelques pistes.

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Bonjour M. Rigo.
Lors de mon examen oral de Math. Discrètes ce matin, vous m’avez demandé ce qu’il se passait dans le problème de Josephus lorsqu’une personne sur 3 était éliminée. J’y ai réfléchi à tête reposée, et je suis coincé dans mes calculs…

J’ai essayé d’adapter la preuve vue au cours, mais elle ne fonctionne malheureusement pas. J’ai donc calculé la valeur de J(n) pour les 100 premiers entiers, et, à la main, cette suite n’était pas très difficile à construire (les 22 premiers termes sont 1,2,2,1,4,1,4,7,1,4,7,10,13,2,5,8,11,14,17,20,2,5,…) Il suffit en fait d’ajouter 3 à chaque coup, en réduisant modulo n si J(n)> n .

Si on pose E_n = { m <= n tels que J(m) = 1 ou 2 } , on trouve que J(n) = 3n-1-k(n), où k(n) est la somme de tous les éléments de E_n . Pour obtenir une formule close pour J(n), il faudrait donc en trouver une pour k(n). Les entiers m qui sont tels que J(m) = 1 ou 2 sont donnés par 1,2,3,4,6,9,14,21,31,47,70,105,158,… et donc, la suite k(n) des sommes partielles est donnée par 1,3,6,10,16,25,39,60,91,138,208,313,471,…
On peut vérifier (formule trouvée sur http://oeis.org/) que cette suite vérifie k(n) = Floor[(3*k(n-1)+3)/2] , k(1) = 1 .

C’est là que je suis coincé. En essayant de distinguer les cas pairs et impairs pour se débarrasser du Floor , il est assez compliqué de trouver une formule close pour k(n).

Pensez-vous qu’il en existe une ? Ou bien faut-il s’y prendre autrement pour trouver une formule close pour J(n) ? Avez-vous une solution « simple », comme pour le Josephus classique ? Le site cité ci-dessus donne une formule « monstrueuse » (voir : http://oeis.org/search?q=1%2C2%2C2%2C1%2C4%2C1%2C4%2C7%2C1%2C4%2C7%2C10&sort=&language=english&go=Search ) , et je ne vois pas du tout d’où elle provient, mais à priori, elle ne provient pas des résultats que j’ai mentionnés…
Comment continuer ?

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C’est déjà très bien d’avoir mené ton raisonnement jusque là (et quand je pose une question comme celle-là, je m’intéresse surtout à la discussion que l’on peut avoir plutôt qu’à la réponse en tant que telle). Enposant la question, je n’avais pas de réponse précise en tête… En cherchant un peu sur le net, on trouve par exemple le texte suivant http://www.cs.manchester.ac.uk/~shamsbaa/Josephus.pdf

Le mieux est probablement de jeter un oeil au « Concrete Math. » dont je parle ci-dessous.

On trouve aussi des articles de recherche :

•  L. Halbeisen and N. Hungerbühler. The Josephus problem. Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, 9(2):303–318, 1997.

En voici le résumé : Nous donnons des formules explicites permettant de calculer les nombres de Josephus j(n,2,i) and j(n,3,i) et fournissant une majoration et une minoration explicites de j(n,k,i) qui ne diffèrent que d’au plus 2k-2 (dans le cas k=4, ces bornes sont même meilleures). Nous proposons aussi un nouvel algorithme pour le calcul de ces nombres basé précisément sur ces estimations.

L’article est disponible en ligne avec le lien suivant : http://jtnb.cedram.org/jtnb-bin/fitem?id=JTNB_1997__9_2_303_0

• R. Stephan, On a sequence related to the Josephus problem, http://arxiv.org/abs/math/0305348
•  A. Odlyzko and H. Wilf. Functional iteration and the Josephus problem. Glasgow Math. J., 33(2):235–240, 1991. (Dans cet article, on étudie plutôt des comportements asymptotiques de suites dérivées dont je parle ci-dessous et il ne semble pas facilement accessible en ligne.)
• Bien sûr, je dois aussi mentionner le livre de référence (dont je me suis inspiré pour mon cours de math. discrètes) : R. L. Graham, D. E. Knuth and O. Patashnik, Concrete mathematics, Addison-Wesley, Reading, MA, 1989. Dans le chapitre 3.3, on mentionne que où si vaut respectivement . Ensuite, les auteurs continuent avec « But this recurrence is too horrible to pursue. » Néanmoins, ils poursuivent avec une autre approche (… il faut donc emprunter le livre à la bibliothèque, mais je peux aussi prêter mon exemplaire personnel).

Je vais m’arrêter là, mais il faut savoir que ce problème et la suite dérivée définie par et ont été largement étudiés. En fait le lien entre et le problème de Josephus généralisé est le suivant: où est le plus petit entier tel que .

A. Odlyzko and H. Wilf montrent par exemple que où la constante est proche de 1,622270503.  Quel intérêt ? Il se fait que l’apparition de est, de mon point de vue, très intéressante… En effet, cela débouche sur l’étude de systèmes de numération (donc, des moyens pour représenter les nombres entiers/réels) ayant des propriétés surprenantes (en comparaison avec les systèmes usuels en base entière). Ils ont été récemment introduits dans S. Akiyama, C. Frougny, J.  Sakarovitch,  Powers of rationals modulo 1 and rational base number systems. Israel J. Math. 168 (2008), 53–91. On trouve par exemple l’article ici : http://www.infres.enst.fr/~jsaka/PUB/pub.html

Bien que cet article s’intéresse aux numérations et aux langages associés, il est notamment motivé par une question (très difficile) posée par K. Mahler en 1968 : existe-t il un nombre réel tel que la partie fractionnaire de appartienne à l’intervalle pour tout ? Mahler a montré que l’ensemble de ces nombres, appelés Z-nombres,  est au plus dénombrable.  K. Mahler, An unsolved problem on the powers of 3/2, J. Austral. Math. Soc. 8 (1968) 313–321.

Pour être complet, voici encore quelques autres papiers inspirés de Josephus :

• Wilson, Gregory L.; Morgan, Christopher L. An application of Fourier transforms on finite abelian groups to an enumeration arising from the Josephus problem. J. Number Theory 130 (2010), no. 4, 815–827.
• Dubickas, Artūras On integer sequences generated by linear maps. Glasg. Math. J. 51 (2009), no. 2, 243–252.
• Uchiyama, Saburô On the generalized Josephus problem. Tsukuba J. Math. 27 (2003), no. 2, 319–339.
• Groër, Chris The mathematics of survival: from antiquity to the playground. Amer. Math. Monthly 110 (2003), no. 9, 812–825

deux leçons du Collège Belgique à Bruxelles, au Palais des Académies (de 17h à 19h),

• 16 février 2011 : Suites automatiques et algébricité de séries formelles, J.-P. Allouche, M. Rigo

• 16 mars 2011 : Fractions continues en géométrie discrète arithmétique, V. Berthé

Ces leçons se veulent accessibles à un public éclairé. Par exemple, dans la première, on présentera le très joli résultat de Harm Derksen montrant que l’ensemble d’annulation d’une suite linéaire récurrente en caractéristique positive est décrit par un automate fini (il s’agit en fait d’un ensemble p-reconnaissable d’entiers), cf. « A Skolem-Mahler-Lech Theorem in Positive Characteristic and Finite Automata« 

En mai prochain, aura lieu la 5th INTERNATIONAL CONFERENCE ON LANGUAGE AND AUTOMATA THEORY AND APPLICATIONS (LATA 2011),  Tarragona, Spain, May 30 – June 3, 2011. Narad Rampersad (post-doc à l’ULg) en est un des conférenciers invités. Son exposé portera sur les numérations abstraites.

En parlant de numération… signalons qu’au Département de Mathématiques de l’Université de Liège se déroulera du 6 au 10 juin 2011 la conférence internationale NUMERATION. La période tombe effectivement assez mal pour les étudiants en bloque, mais il pourrait être intéressant de venir écouter ne serait-ce que quelques exposés pour avoir l’occasion, au moins une fois, d’assister à une conférence de mathématiques.

Monsieur,
Je tombe par hasard sur votre site (tomber au sens littéral !). Votre histoire de R vu comme un Q-espace vectoriel m’intéresse ; pourriez-vous en révéler plus à vos lecteurs ?

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Lorsque l’on définit la notion d’espace vectoriel, on précise toujours qu’il s’agit d’un espace vectoriel sur un corps (ou un champ) spécifié. En effet, si est un champ et si est un espace vectoriel sur , alors lorsqu’on définit par exemple le concept de combinaison linéaire, on se donne des éléments de et des scalaires (i.e., des éléments de ) pour construire l’élément de , . Ainsi, si l’on regarde comme un espace vectoriel sur , on s’autorise uniquement des combinaisons linéaires du type : où les sont des rationnels et les des réels. Cela a d’importantes conséquences. Par exemple, si est vu comme un espace vectoriel sur , et sont linéairement dépendants car il est trivial de construire une combinaison linéaire à coefficients réels de ces deux éléments qui est nulle sans que les coefficients le soient, . Par contre, lorsque l’on consdière comme un espace vectoriel sur , la situation est différente, cette fois et sont linéairement indépendants (en effet, sinon serait rationnel). Dans le même genre, on peut par exemple regarder comme un -vectoriel ou comme un -vectoriel et tester, dans les deux cas, l’indépendance linéaire de et . On peut alors voir que la dimension de comme -vectoriel est , par contre, sa dimension comme -vectoriel vaut . Tout ça pour dire que parler d’espace vectoriel sans spécifier le champ sur lequel il est construit est un manque flagrant d’information !

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Voici une réponse possible :

Pour rappel un espace vectoriel est de dimension finie, s’il contient une partie génératrice finie. L’ensemble vide ne convient guère. Une réponse possible est de considérer , l’ensemble des polynômes à coefficients réels. En effet, en procédant par l’absurde et en supposant que contient une partie génératrice finie formée des polynômes , alors cela signifie que tout polynôme est combinaison linéaire de . Or, le degré d’une telle combinaison , avec les réels ne peut dépasser le degré maximal des . Ceci est absurde puisque contient des polynômes de degré arbitraire.

Ce n’est pas le seul exemple, mais c’est le plus ‘classique’. On peut par exemple penser à vu comme un -vectoriel, à l’ensemble des suites réelles vu comme -vectoriel, mais aussi à des espaces de fonctions. Mais alors, les preuves sont peut-être moins ‘triviales’ et il est d’ailleurs intéressant de chercher des bases de ces espaces de fonctions (mais c’est une autre histoire).

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On considère une matrice de rang . Cela signifie que le nombre maximum de lignes linéairement indépendantes de vaut et donc que parmi les lignes de , on peut en trouver exactement (et pas plus, simultanément) qui sont linéairement indépendantes. Soient ces lignes.

Tout ligne de est combinaison linéiare de ces lignes . En effet, si est une des lignes , c’est immédiat (c’est une fois la ligne en question et on obtient immédiatement une combinaison linéaire). Si est une ligne différente de , alors les lignes sont linéairement dépendantes (sinon le rang de serait ) et de là, on en tire que est combinaison linéaire de . (En effet, si sont linéairement indépendants alors, sont linéairement dépendants si et seulement si est combinaison linéaire de .)

A ce stade, je n’ai pas encore parlé du système mais celui-ci est construit en sélectionnant certaines équations de et précisément, la sélection se fait en choisissant des équations correspondant aux lignes de linéairement indépendantes (et en nombre maximum). Cela devrait alors à présent être clair.

Bon travail.

J’ai une idée pour raccourcir de manière assez significative la fin d’une longue démonstration du cours de théorie des graphes, et j’aimerais savoir si elle est valable (pour un examen oral par exemple). Il s’agit de la démonstration du corollaire II.2.6 , pages 75 et 76 du cours (spectre symétrique implique graphe biparti).

Contexte :
Nous avons notamment montré que les ensembles V1 et V2 sont disjoints, et que tout chemin reliant un sommet de V1 à un sommet de V2 est nécessairement de longueur impaire. Pour conclure la preuve, au dernier paragraphe (“Supposons à présent que, dans G,un chemin…”) , il reste à montrer que 2 sommets de V1 (et V2 mais preuve identique) sont forcément reliés par des chemins de longueur paire. Ce qui est développé dans les feuilles est assez long et compliqué, et j’ai pensé à ceci.

J’aurai besoin de
(1) Les sommets de V1 (resp. V2) sont reliés à u par un chemin de longueur impaire (resp paire).
(2) V1 et V2 sont disjoints.

Soient a et b des sommets de V1. Vu (1) , a est joint à u par C1 de long. impaire , b à u par C2 de long. impaire. Procédons par l’absurde et supposons que a et b sont joints par un chemin de long. impaire C3. Alors le chemin qui part de u, prend C1 puis C3 et arrive à b est de long. paire (impaire+impaire = paire). Vu (1), on obtient que b appartient aussi à V2 , d’où contradiction vu (2). (de meme, a est dans V2 aussi).

Donc a et b sont forcément joints par un chemin de longueur paire , ce qui conclut.

Serait-il possible que vous confirmiez si cela est correct s’il vous plait ?

Merci d’avance.

Adrien Deliège , 2 BM

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Tout d’abord un commentaire général : lors d’un examen oral, je suis ravi de pouvoir discuter avec un étudiant de preuves alternatives ou de variantes aux démonstrations présentées. En effet, le plus intéressant pendant l’examen est de savoir si les étudiants ont réfléchi et muri les concepts développés aux cours. Donc, même si un étudiant me proposait à un oral une preuve originale mais inexacte, il serait alors très intéressant de discuter avec lui pour sortir de l’examen avec une nouvelle preuve correcte. (Bien sûr, je comprends très bien que dans l’immense majorité des cas, on reprenne la preuve vue au cours).

Bon, à présent pour ce qui est spécifiquement de l’argument proposé. Il me paraît tout à fait valable et est d’ailleurs basé sur le même genre d’argument que celui développé dans le cours. Donc, cela me convient très bien.

Doron Zeilberger est notamment l’un des auteurs du livre A=B que l’on ne peut que conseiller.

Soient et deux éléments non nuls d’un anneau principal .

Si , alors est un pgcd de et de . En effet, puisque , on en conclut que divise . De la même manière, divise . Donc est un diviseur commun de et de . A présent, supposons que divise et . Il existe tels que et . De là, un élément quelconque de est de la forme , avec . Autrement dit, appartient à et . Nous avons donc prouvé que divise et est donc un pgcd de et de .

Réciproquement, si est un pgcd de et de , alors . Puisque est un anneau principal, il existe tel que . Au vu de la première partie, est un pgcd de et de . Puisque (resp. ) est un diviseur commun de et de et que (resp. ) en est un pgcd, (resp. ) divise (resp. ) et (resp. ). On conclut que .

Rappel : est un pgcd de et de si divise et et si tout autre diviseur de et de divise également

Typiquement, un message à envoyer est un nombre entier (car, par codage, on peut remplacer un texte quelconque par un nombre). Imaginez donc que l’on désire envoyer le nombre . Considérons un polynôme de degré , par exemple à coefficients entiers, dont le terme indépendant vaut exactement . En particulier, on a .

Un corollaire du théorème fondamental de l’algèbre stipule que si deux polynômes de degré sont égaux en points, alors ils sont égaux. Autrement dit, le polynôme est complétement caractérisé par les valeurs qu’il prend par exemple aux entiers . On engage alors espions (voire un peu plus, si certains étaient capturés par les « ennemis »). On donne au ième espion, le nombre .

Les espions se dispersent (par exemple, pour passer les lignes ennemies). Une fois que espions sont arrivés à destination, il est aisé de reconstituer le polynôme (on a un système de équations linéaires pour retrouver les coefficients de ) et ainsi retrouver la valeur secrète .

Si un espion est capturé et qu’il parle, les ennemis auront à leur disposition un des , cela ne leur permet nullement  de retrouver . De même, si un espion étaient en fait un agent double… connaître seul ne sert à rien.

J’ai découvert ce petit exemple en écoutant une conférence du professeur Shlomi Dolev lors de la dernière conférence AutoMathA à Liège.

Je suis tombé par hasard sur ce site en reprenant un problème que Jeffrey Shallit avait énoncé lors d’une école d’été CANT organisée à Liège en 2006. A mon avis, c’est une question très difficile !

Pour l’étudiant qui découvre les mathématiques, il se rendra vite compte qu’effectivement, la recherche est active et que de nombreuses questions sont encore à investiguer…