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R comme Q-espace vectoriel

27/09/2010

Suite à l’article “espace vectoriel de dimension finie”, j’ai reçu le commentaire suivant :

Monsieur,
Je tombe par hasard sur votre site (tomber au sens littéral !). Votre histoire de R vu comme un Q-espace vectoriel m’intéresse ; pourriez-vous en révéler plus à vos lecteurs ?

——–

Lorsque l’on définit la notion d’espace vectoriel, on précise toujours qu’il s’agit d’un espace vectoriel sur un corps (ou un champ) spécifié. En effet, si $\mathbb{K}$ est un champ et si $E$ est un espace vectoriel sur $\mathbb{K}$ , alors lorsqu’on définit par exemple le concept de combinaison linéaire, on se donne des éléments $x_1,\ldots,x_k$ de $E$ et des scalaires $\alpha_1,\ldots,\alpha_k$ (i.e., des éléments de $\mathbb{K}$ ) pour construire l’élément de $E$ , $\alpha_1 x_1+\cdots+\alpha_k x_k$ . Ainsi, si l’on regarde $\mathbb{R}$ comme un espace vectoriel sur $\mathbb{Q}$ , on s’autorise uniquement des combinaisons linéaires du type : $q_1 r_1+\cdots +q_k r_k$ où les $q_i$ sont des rationnels et les $r_i$ des réels. Cela a d’importantes conséquences. Par exemple, si $\mathbb{R}$ est vu comme un espace vectoriel sur $\mathbb{R}$ , $1$ et $\sqrt{2}$ sont linéairement dépendants car il est trivial de construire une combinaison linéaire à coefficients réels de ces deux éléments qui est nulle sans que les coefficients le soient, $-\sqrt{2}.1+1.\sqrt{2}$ . Par contre, lorsque l’on consdière $\mathbb{R}$ comme un espace vectoriel sur $\mathbb{Q}$ , la situation est différente, cette fois $1$ et $\sqrt{2}$ sont linéairement indépendants (en effet, sinon $\sqrt{2}$ serait rationnel). Dans le même genre, on peut par exemple regarder $\mathbb{C}$ comme un $\mathbb{C}$ -vectoriel ou comme un $\mathbb{R}$ -vectoriel et tester, dans les deux cas, l’indépendance linéaire de $1$ et $i$ . On peut alors voir que la dimension de $\mathbb{C}$ comme $\mathbb{C}$ -vectoriel est $1$ , par contre, sa dimension comme $\mathbb{R}$ -vectoriel vaut $2$ . Tout ça pour dire que parler d’espace vectoriel sans spécifier le champ sur lequel il est construit est un manque flagrant d’information !

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Publié par michelrigo

Espace vectoriel de dimension infinie

04/06/2010

Bonjour Mr Rigo,
lors de mon examen oral, vous m’avez demandé de chercher un espace vectoriel de dimension infinie. Sur le coup je n’ai pas trouvé et vous ne m’avez finalement pas donné la réponse…
Cependant, j’ai eu le temps de réfléchir et une idée a surgi de mon esprit, peut-être pas brillante ,certes, mais une idée quand même… J’ai pensé que le vide pouvait être de dimemsion infinie…
Est-ce le cas?

——

Voici une réponse possible :

Pour rappel un espace vectoriel est de dimension finie, s’il contient une partie génératrice finie. L’ensemble vide ne convient guère. Une réponse possible est de considérer $\mathbb{R}[X]$ , l’ensemble des polynômes à coefficients réels. En effet, en procédant par l’absurde et en supposant que $\mathbb{R}[X]$ contient une partie génératrice finie formée des polynômes $P_1,\ldots,P_t$ , alors cela signifie que tout polynôme est combinaison linéaire de $P_1,\ldots,P_t$ . Or, le degré d’une telle combinaison $\alpha_1 P_1+\cdots +\alpha_t P_t$ , avec les $\alpha_i$ réels ne peut dépasser le degré maximal des $P_i$ . Ceci est absurde puisque $\mathbb{R}[X]$ contient des polynômes de degré arbitraire.

Ce n’est pas le seul exemple, mais c’est le plus ‘classique’. On peut par exemple penser à $\mathbb{R}$ vu comme un $\mathbb{Q}$ -vectoriel, à l’ensemble $\mathbb{R}^\mathbb{N}$ des suites réelles vu comme $\mathbb{R}$ -vectoriel, mais aussi à des espaces de fonctions. Mais alors, les preuves sont peut-être moins ‘triviales’ et il est d’ailleurs intéressant de chercher des bases de ces espaces de fonctions (mais c’est une autre histoire).

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Publié par michelrigo

Question : rang et systèmes

31/05/2010

Bonjour Mr Rigo,
j’ai une question à propos du corollaire VI.3.6 (si le système(S)est compatible,il est équivalent au système (S’) obtenu en ne considérant que les lignes lin. ind. et en nombre égal au rang de A.):
Dans la démo,vous dites que, par construction de (S’), toute ligne Li de A est comb. lin. des r=rgA lignes de la matrice de (S’); mais ce que je ne comprends pas c’est que, dans toutes les lignes de A, il y a les r=rgA lignes lin. ind. donc comment peuvent-elles etre comb. lin. des r lignes de la matrice de (S’)? ces r lignes seraient lin. dép. alors, non? c’est un point que je ne comprends pas et tout en espérant que ma question est assez claire, je vous remercie d’avance pour l’aide que vous pourrez m’apporter.

————————

On considère une matrice $A$ de rang $r$ . Cela signifie que le nombre maximum de lignes linéairement indépendantes de $A$ vaut $r$ et donc que parmi les lignes de $A$ , on peut en trouver exactement $r$ (et pas plus, simultanément) qui sont linéairement indépendantes. Soient $L_{i_1},\ldots,L_{i_r}$ ces $r$ lignes.

Tout ligne $L$ de $A$ est combinaison linéiare de ces $r$ lignes $L_{i_1},\ldots,L_{i_r}$ . En effet, si $L$ est une des lignes $L_{i_1},\ldots,L_{i_r}$ , c’est immédiat (c’est une fois la ligne en question et on obtient immédiatement une combinaison linéaire). Si $L$ est une ligne différente de $L_{i_1},\ldots,L_{i_r}$ , alors les $r+1$ lignes $L,L_{i_1},\ldots,L_{i_r}$ sont linéairement dépendantes (sinon le rang de $A$ serait $>r$ ) et de là, on en tire que $L$ est combinaison linéaire de $L_{i_1},\ldots,L_{i_r}$ . (En effet, si $x_1,\ldots,x_r$ sont linéairement indépendants alors, $x,x_1,\ldots,x_r$ sont linéairement dépendants si et seulement si $x$ est combinaison linéaire de $x_1,\ldots,x_r$ .)

A ce stade, je n’ai pas encore parlé du système $(S')$ mais celui-ci est construit en sélectionnant certaines équations de $(S)$ et précisément, la sélection se fait en choisissant des équations correspondant aux lignes de $A$ linéairement indépendantes (et en nombre maximum). Cela devrait alors à présent être clair.

Bon travail.

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Publié par michelrigo

pgcd et idéaux

03/02/2010

Quelques précisions suite au cours d’algèbre du mardi 2/2/10

Soient $a$ et $b$ deux éléments non nuls d’un anneau principal $A$ .

Si $\langle a,b\rangle=\langle d\rangle$ , alors $d$ est un pgcd de $a$ et de $b$ . En effet, puisque $\langle a\rangle\subset\langle a,b\rangle=\langle d\rangle$ , on en conclut que $d$ divise $a$ . De la même manière, $d$ divise $b$ . Donc $d$ est un diviseur commun de $a$ et de $b$ . A présent, supposons que $e$ divise $a$ et $b$ . Il existe $s,t\in A$ tels que $a=se$ et $b=te$ . De là, un élément quelconque $x$ de $\langle d\rangle=\langle a,b\rangle$ est de la forme $x=ua+vb=(us+vt)e$ , avec $u,v\in A$ . Autrement dit, $x$ appartient à $\langle e\rangle$ et $\langle d\rangle\subset\langle e\rangle$ . Nous avons donc prouvé que $e$ divise $d$ et $d$ est donc un pgcd de $a$ et de $b$ .

Réciproquement, si $d$ est un pgcd de $a$ et de $b$ , alors $\langle a,b\rangle=\langle d\rangle$ . Puisque $A$ est un anneau principal, il existe $e\in A$ tel que $\langle a,b\rangle=\langle e\rangle$ . Au vu de la première partie, $e$ est un pgcd de $a$ et de $b$ . Puisque $d$ (resp. $e$ ) est un diviseur commun de $a$ et de $b$ et que $e$ (resp. $d$ ) en est un pgcd, $d$ (resp. $e$ ) divise $e$ (resp. $d$ ) et $\langle e\rangle\subset \langle d\rangle$ (resp. $\langle d\rangle\subset \langle e\rangle$ ). On conclut que $\langle d\rangle=\langle e\rangle=\langle a,b\rangle$ .

Rappel : $d$ est un pgcd de $a$ et de $b$ si $d$ divise $a$ et $b$ et si tout autre diviseur $e$ de $a$ et de $b$ divise également $d$

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Publié par michelrigo

Partage de secrets et TFA

30/01/2010

Question : Lors d’un cours, vous avez expliqué comment envoyer un message secret avec plusieurs espions sans pour autant que ceux-ci ne connaissent le contenu du message envoyé. Cela utilisait le théorème fondamental de l’algèbre, mais je n’ai rien compris…

Typiquement, un message à envoyer est un nombre entier (car, par codage, on peut remplacer un texte quelconque par un nombre). Imaginez donc que l’on désire envoyer le nombre $n$ . Considérons un polynôme de degré $k$ , par exemple à coefficients entiers, $P(X)=a_kX^k+\cdots +a_1X+n$ dont le terme indépendant vaut exactement $n$ . En particulier, on a $P(0)=n$ .

Un corollaire du théorème fondamental de l’algèbre stipule que si deux polynômes de degré $k$ sont égaux en $k+1$ points, alors ils sont égaux. Autrement dit, le polynôme $P$ est complétement caractérisé par les valeurs qu’il prend par exemple aux entiers $1,2,\ldots,k+1$ . On engage alors $k+1$ espions (voire un peu plus, si certains étaient capturés par les “ennemis”). On donne au ième espion, le nombre $P(i)$ .

Les espions se dispersent (par exemple, pour passer les lignes ennemies). Une fois que $k+1$ espions sont arrivés à destination, il est aisé de reconstituer le polynôme (on a un système de $k+1$ équations linéaires pour retrouver les $k+1$ coefficients de $P$ ) et ainsi retrouver la valeur secrète $n$ .

Si un espion est capturé et qu’il parle, les ennemis auront à leur disposition un des $P(i)$ , cela ne leur permet nullement de retrouver $n$ . De même, si un espion étaient en fait un agent double… connaître $P(i)$ seul ne sert à rien.

J’ai découvert ce petit exemple en écoutant une conférence du professeur Shlomi Dolev lors de la dernière conférence AutoMathA à Liège.

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Publié par michelrigo

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