R comme Q-espace vectoriel

Suite à l’article “espace vectoriel de dimension finie”, j’ai reçu le commentaire suivant :

Monsieur,
Je tombe par hasard sur votre site (tomber au sens littéral !). Votre histoire de R vu comme un Q-espace vectoriel m’intéresse ; pourriez-vous en révéler plus à vos lecteurs ?

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Lorsque l’on définit la notion d’espace vectoriel, on précise toujours qu’il s’agit d’un espace vectoriel sur un corps (ou un champ) spécifié. En effet, si $\mathbb{K}$ est un champ et si $E$ est un espace vectoriel sur $\mathbb{K}$ , alors lorsqu’on définit par exemple le concept de combinaison linéaire, on se donne des éléments $x_1,\ldots,x_k$ de $E$ et des scalaires $\alpha_1,\ldots,\alpha_k$ (i.e., des éléments de $\mathbb{K}$ ) pour construire l’élément de $E$ , $\alpha_1 x_1+\cdots+\alpha_k x_k$ . Ainsi, si l’on regarde $\mathbb{R}$ comme un espace vectoriel sur $\mathbb{Q}$ , on s’autorise uniquement des combinaisons linéaires du type : $q_1 r_1+\cdots +q_k r_k$ où les $q_i$ sont des rationnels et les $r_i$ des réels. Cela a d’importantes conséquences. Par exemple, si $\mathbb{R}$ est vu comme un espace vectoriel sur $\mathbb{R}$ , $1$ et $\sqrt{2}$ sont linéairement dépendants car il est trivial de construire une combinaison linéaire à coefficients réels de ces deux éléments qui est nulle sans que les coefficients le soient, $-\sqrt{2}.1+1.\sqrt{2}$ . Par contre, lorsque l’on consdière $\mathbb{R}$ comme un espace vectoriel sur $\mathbb{Q}$ , la situation est différente, cette fois $1$ et $\sqrt{2}$ sont linéairement indépendants (en effet, sinon $\sqrt{2}$ serait rationnel). Dans le même genre, on peut par exemple regarder $\mathbb{C}$ comme un $\mathbb{C}$ -vectoriel ou comme un $\mathbb{R}$ -vectoriel et tester, dans les deux cas, l’indépendance linéaire de $1$ et $i$ . On peut alors voir que la dimension de $\mathbb{C}$ comme $\mathbb{C}$ -vectoriel est $1$ , par contre, sa dimension comme $\mathbb{R}$ -vectoriel vaut $2$ . Tout ça pour dire que parler d’espace vectoriel sans spécifier le champ sur lequel il est construit est un manque flagrant d’information !

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Cette entrée a été publiée le Lundi 27 septembre 2010 à 11:31 et est classée dans Algèbre linéaire. Suivez toutes les réponses à cet article via le flux RSS 2.0. Vous pouvez laisser un commentaire ou envoyer un rétrolien depuis votre site.