R comme Q-espace vectoriel

Suite à l’article “espace vectoriel de dimension finie”, j’ai reçu le commentaire suivant :

Monsieur,
Je tombe par hasard sur votre site (tomber au sens littéral !). Votre histoire de R vu comme un Q-espace vectoriel m’intéresse ; pourriez-vous en révéler plus à vos lecteurs ?

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Lorsque l’on définit la notion d’espace vectoriel, on précise toujours qu’il s’agit d’un espace vectoriel sur un corps (ou un champ) spécifié. En effet, si est un champ et si est un espace vectoriel sur , alors lorsqu’on définit par exemple le concept de combinaison linéaire, on se donne des éléments de et des scalaires (i.e., des éléments de ) pour construire l’élément de , . Ainsi, si l’on regarde comme un espace vectoriel sur , on s’autorise uniquement des combinaisons linéaires du type : où les sont des rationnels et les des réels. Cela a d’importantes conséquences. Par exemple, si est vu comme un espace vectoriel sur , et sont linéairement dépendants car il est trivial de construire une combinaison linéaire à coefficients réels de ces deux éléments qui est nulle sans que les coefficients le soient, . Par contre, lorsque l’on consdière comme un espace vectoriel sur , la situation est différente, cette fois et sont linéairement indépendants (en effet, sinon serait rationnel). Dans le même genre, on peut par exemple regarder comme un -vectoriel ou comme un -vectoriel et tester, dans les deux cas, l’indépendance linéaire de et . On peut alors voir que la dimension de comme -vectoriel est , par contre, sa dimension comme -vectoriel vaut . Tout ça pour dire que parler d’espace vectoriel sans spécifier le champ sur lequel il est construit est un manque flagrant d’information !