Espace vectoriel de dimension infinie

Bonjour Mr Rigo,
lors de mon examen oral, vous m’avez demandé de chercher un espace vectoriel de dimension infinie. Sur le coup je n’ai pas trouvé et vous ne m’avez finalement pas donné la réponse…
Cependant, j’ai eu le temps de réfléchir et une idée a surgi de mon esprit, peut-être pas brillante ,certes, mais une idée quand même… J’ai pensé que le vide pouvait être de dimemsion infinie…
Est-ce le cas?

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Voici une réponse possible :

Pour rappel un espace vectoriel est de dimension finie, s’il contient une partie génératrice finie. L’ensemble vide ne convient guère. Une réponse possible est de considérer , l’ensemble des polynômes à coefficients réels. En effet, en procédant par l’absurde et en supposant que contient une partie génératrice finie formée des polynômes , alors cela signifie que tout polynôme est combinaison linéaire de . Or, le degré d’une telle combinaison , avec les réels ne peut dépasser le degré maximal des . Ceci est absurde puisque contient des polynômes de degré arbitraire.

Ce n’est pas le seul exemple, mais c’est le plus ‘classique’. On peut par exemple penser à vu comme un -vectoriel, à l’ensemble des suites réelles vu comme -vectoriel, mais aussi à des espaces de fonctions. Mais alors, les preuves sont peut-être moins ‘triviales’ et il est d’ailleurs intéressant de chercher des bases de ces espaces de fonctions (mais c’est une autre histoire).