Bonjour Mr Rigo,
j’ai une question à propos du corollaire VI.3.6 (si le système(S)est compatible,il est équivalent au système (S’) obtenu en ne considérant que les lignes lin. ind. et en nombre égal au rang de A.):
Dans la démo,vous dites que, par construction de (S’), toute ligne Li de A est comb. lin. des r=rgA lignes de la matrice de (S’); mais ce que je ne comprends pas c’est que, dans toutes les lignes de A, il y a les r=rgA lignes lin. ind. donc comment peuvent-elles etre comb. lin. des r lignes de la matrice de (S’)? ces r lignes seraient lin. dép. alors, non? c’est un point que je ne comprends pas et tout en espérant que ma question est assez claire, je vous remercie d’avance pour l’aide que vous pourrez m’apporter.
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On considère une matrice de rang . Cela signifie que le nombre maximum de lignes linéairement indépendantes de vaut et donc que parmi les lignes de , on peut en trouver exactement (et pas plus, simultanément) qui sont linéairement indépendantes. Soient ces lignes.
Tout ligne de est combinaison linéiare de ces lignes . En effet, si est une des lignes , c’est immédiat (c’est une fois la ligne en question et on obtient immédiatement une combinaison linéaire). Si est une ligne différente de , alors les lignes sont linéairement dépendantes (sinon le rang de serait ) et de là, on en tire que est combinaison linéaire de . (En effet, si sont linéairement indépendants alors, sont linéairement dépendants si et seulement si est combinaison linéaire de .)
A ce stade, je n’ai pas encore parlé du système mais celui-ci est construit en sélectionnant certaines équations de et précisément, la sélection se fait en choisissant des équations correspondant aux lignes de linéairement indépendantes (et en nombre maximum). Cela devrait alors à présent être clair.
