Question : rang et systèmes

Bonjour Mr Rigo,
j’ai une question à propos du corollaire VI.3.6 (si le système(S)est compatible,il est équivalent au système (S’) obtenu en ne considérant que les lignes lin. ind. et en nombre égal au rang de A.):
Dans la démo,vous dites que, par construction de (S’), toute ligne Li de A est comb. lin. des r=rgA lignes de la matrice de (S’); mais ce que je ne comprends pas c’est que, dans toutes les lignes de A, il y a les r=rgA lignes lin. ind. donc comment peuvent-elles etre comb. lin. des r lignes de la matrice de (S’)? ces r lignes seraient lin. dép. alors, non? c’est un point que je ne comprends pas et tout en espérant que ma question est assez claire, je vous remercie d’avance pour l’aide que vous pourrez m’apporter.

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On considère une matrice de rang . Cela signifie que le nombre maximum de lignes linéairement indépendantes de vaut et donc que parmi les lignes de , on peut en trouver exactement (et pas plus, simultanément) qui sont linéairement indépendantes. Soient ces lignes.

Tout ligne de est combinaison linéiare de ces lignes . En effet, si est une des lignes , c’est immédiat (c’est une fois la ligne en question et on obtient immédiatement une combinaison linéaire). Si est une ligne différente de , alors les lignes sont linéairement dépendantes (sinon le rang de serait ) et de là, on en tire que est combinaison linéaire de . (En effet, si sont linéairement indépendants alors, sont linéairement dépendants si et seulement si est combinaison linéaire de .)

A ce stade, je n’ai pas encore parlé du système mais celui-ci est construit en sélectionnant certaines équations de et précisément, la sélection se fait en choisissant des équations correspondant aux lignes de linéairement indépendantes (et en nombre maximum). Cela devrait alors à présent être clair.

Bon travail.

Question : connexité

Bonjour (ou bonsoir). J’espère être au bon endroit pour poster ceci..

J’ai une idée pour raccourcir de manière assez significative la fin d’une longue démonstration du cours de théorie des graphes, et j’aimerais savoir si elle est valable (pour un examen oral par exemple). Il s’agit de la démonstration du corollaire II.2.6 , pages 75 et 76 du cours (spectre symétrique implique graphe biparti).

Contexte :
Nous avons notamment montré que les ensembles V1 et V2 sont disjoints, et que tout chemin reliant un sommet de V1 à un sommet de V2 est nécessairement de longueur impaire. Pour conclure la preuve, au dernier paragraphe (“Supposons à présent que, dans G,un chemin…”) , il reste à montrer que 2 sommets de V1 (et V2 mais preuve identique) sont forcément reliés par des chemins de longueur paire. Ce qui est développé dans les feuilles est assez long et compliqué, et j’ai pensé à ceci.

J’aurai besoin de
(1) Les sommets de V1 (resp. V2) sont reliés à u par un chemin de longueur impaire (resp paire).
(2) V1 et V2 sont disjoints.

Soient a et b des sommets de V1. Vu (1) , a est joint à u par C1 de long. impaire , b à u par C2 de long. impaire. Procédons par l’absurde et supposons que a et b sont joints par un chemin de long. impaire C3. Alors le chemin qui part de u, prend C1 puis C3 et arrive à b est de long. paire (impaire+impaire = paire). Vu (1), on obtient que b appartient aussi à V2 , d’où contradiction vu (2). (de meme, a est dans V2 aussi).

Donc a et b sont forcément joints par un chemin de longueur paire , ce qui conclut.

Serait-il possible que vous confirmiez si cela est correct s’il vous plait ?

Merci d’avance.

Adrien Deliège , 2 BM

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Tout d’abord un commentaire général : lors d’un examen oral, je suis ravi de pouvoir discuter avec un étudiant de preuves alternatives ou de variantes aux démonstrations présentées. En effet, le plus intéressant pendant l’examen est de savoir si les étudiants ont réfléchi et muri les concepts développés aux cours. Donc, même si un étudiant me proposait à un oral une preuve originale mais inexacte, il serait alors très intéressant de discuter avec lui pour sortir de l’examen avec une nouvelle preuve correcte. (Bien sûr, je comprends très bien que dans l’immense majorité des cas, on reprenne la preuve vue au cours).

Bon, à présent pour ce qui est spécifiquement de l’argument proposé. Il me paraît tout à fait valable et est d’ailleurs basé sur le même genre d’argument que celui développé dans le cours. Donc, cela me convient très bien.